Question

已知：抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．
（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）“若AB的长为，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法；
解：由（1）知，对称轴与x轴交于点D（，0）
∵抛物线的对称性及，
∴AD=DB=．
∵点A（x_A，0）在抛物线y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，将代入上式，得到关于m的方程②
（3）将（2）中的条件“AB的长为”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²-4m-14，
∴顶点C的坐标为（m+2，-4m-14）．

（2）由（1）知，对称轴与x轴交于点D（m+2，0），
∵抛物线的对称性及AB=2，
∴AD=DB=．
∵点A（x_A，0）在抛物线y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，将代入上式，
得到关于m的方程0=（）²+（-4m-14）②
解得m=-3，
当m=-3时，抛物线y=x²+2x-1与x轴有交点，
且AB=2，符合题意．
所求抛物线的解析式为y=x²+2x-1．
步骤①的解题依据：抛物线上一点的坐标满足此函数解析式；
步骤②的解题方法：代入法

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴由（1）知CD=|-4m-14|=4m+14（-4m-14＜0），
AD=DB=CD=（4m+14）（-4m-14＜0），
∵点A（x_A，0）在抛物线上，
∴0=（x_A-h）²+k．
∵h=x_C=x_D，将|x_A-x_D|=（4m+14）代入上式，
得0=（4m+14）²-4m-14，
∵-4m-14＜0，
∴（4m+14）-1=0，
解得m=-，
当m=-时，抛物线y=x²+-与x轴有交点，且符合题意．
所求抛物线的解析式为y=x²+-．
分析：（1）将所给的二次函数解析式配成完全平方式即可；
（2）①题中，点A在抛物线的图象上，因此A点的坐标一定满足此函数解析式；而②所用的显然是代入法；
②设抛物线的对称轴与x轴的交点为D；由于抛物线开口向上，且与x轴有交点，那么顶点C必在x轴下方，所以C点的纵坐标小于0，由此可求出m的取值范围；根据抛物线的顶点坐标，可求出CD的长度；而△ABC是等边三角形，那么在Rt△ACD中，CD=AD，由此可求出AD的长；设A（x_A，0），将其代入抛物线的解析式中，即可得到0=（x_A-h）²+k，此式中，h与C点横坐标相同，因此|x_A-h|其实就是AD的长，在（1）题中，通过配方已经求得了k的值，即可得到关于m的方程，然后配成（2）②的形式，根据非负数的性质及m的取值范围即可求出m的值，从而确定抛物线的解析式．
点评：此题主要考查了用配方法求二次函数解析式顶点坐标的方法、函数图象上点的坐标意义、等边三角形的性质、二次函数解析式的确定等知识，正确理解材料的解题思路是解答此题的关键．