Question

【题目】如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．

（1）请判断：AF与BE的数量关系是 ， 位置关系是；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．

Answer 1

【答案】
（1）相等；互相垂直
（2）

解：结论仍然成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中， ，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF

（3）

解：第（1）问中的结论都能成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中， ，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中， ，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF．

【解析】解：（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
答案是：相等，互相垂直；

【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和平行四边形的性质，需要了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．