Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交与点N其顶点为D．
（1求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求直线AC的解析式；
（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（4）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B；上下平移多少个单位时过点B．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，再整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）求出点D关于直线x=3的对称点D′，根据轴对称确定最短路线问题，连接D′N与直线x=3的交点即为所求的点M，然后利用待定系数法求出直线D′N的解析式，再令x=3求解即可得到m的值；
（4）求出点B的坐标为（1，2），然后令y=0解方程得到x的值，即可得到左右平移的单位，根据点B、D的纵坐标可得向下平移的单位数．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3），
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
∴直线AC的解析式为y=x+1；

（3）∵点D（1，4），点（3，m）在直线x=3上，
∴点D关于直线x=3的对称点D′坐标为（5，4），
令x=0，则y=3，
所以，点N的坐标为（0，3），
设直线D′N的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

5k+b=4 b=3

，
解得

k= 1 5 b=3

，
所以，y=

1

5

x+3，
当x=3时，y=

1

5

×3+3=

18

5

，
所以，m=

18

5

；

（4）抛物线y=-（x-1）²+4的对称轴为直线x=1，
当x=1时，y=x+1=1+1=2，
所以，点B的坐标为（1，2），
当y=2时，-x²+2x+3=2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x=1±

2

，
∵1+

2

-1=

2

，1-（1-

2

）=

2

，
∴抛物线向左或向右平移

2

个单位，经过点B，
∵点D（1，4），点B（1，2），4-2=2，
∴抛物线向下平移2个单位，经过点B．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）掌握点M的位置的确定方法．