Question

【题目】已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线CP不过点A，B，且不平分∠ACB，点B关于直线CP的对称点为E，直线AE交直线CP于点F．

（1）如图1，直线CP与线段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度数；

（2）如图1，当直线CP绕点C旋转时，记∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）．

①∠FEB的大小是否改变，若不变，求出∠FEB的度数；若改变，请用含α的式子表示）．

②找出线段AF，EF，BC的数量关系，并给出证明．

（3）如图2，当直线CP在△ABC外侧，且0°＜∠ACP＜45°时．若BC＝5，EF＝8，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）∠CAF＝70°；（2）①∠FEB的大小不变，都是45°；②AF2+EF2＝2BC2，理由见解析；（3）CF＝

【解析】

（1）如图1，根据轴对称的性质得：CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，由等边对等角和三角形内角和可得结论；

（2）①存在两种情况：当P在直线BC的上方时，根据CB＝CE，CP⊥BE，得∠PCB＝∠ECP＝α，计算∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，根据角的和可得∠AEB＝135°，最后由平角的定义得结论；

当P在直线BC的下方时，同得可得∠FEB的度数是45°；

②连接FB，证明∠AFB＝90°，根据勾股定理可得结论；

（3）连接BF，过C作CH⊥AE，同（2）可得：∠EFC＝45°，AF2+EF2＝2BC2，根据△ACE是等腰三角形和勾股定理可计算CF的长．

解：（1）如图（1）a，连接CE，

∵B、E关于CP对称，

∴CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，

∵CB＝CA，

∴CE＝CA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝40°，

∴∠CAF＝70°；

（2）①如图（1），∠FEB的大小不变，

当PC在CB的上方时，如图（1）a，

∵∠PCB＝α，则∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°﹣2α，∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝135°

∴∠FEB＝45°；

当PC在CB的下方时，如图（1）b，连接CE，

∵∠PCB＝∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°+2α，∠AEC＝45°﹣α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝∠FEB＝∠CEB﹣∠AEC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°，

综上，∠FEB的大小不变，都是45°；

②AF2+EF2＝2BC2，理由是：

连接FB，

∵点B关于直线CP的对称点为E，∠FEB＝∠FBE＝45°，

∴∠AFB＝90°，

∴AF2+FB2＝AB2，

∵AB2＝2BC2，EF＝BF，

∴AF2+EF2＝2BC2；

（3）连接BF，过C作CH⊥AE，

同（2）：记∠PCB＝α，则∠PCE＝α

∴∠ACP＝α﹣90°

∴∠ACE＝2α﹣90°

∵AC＝CE

∴∠AEC＝＝135°﹣α

∵∠CEB＝α﹣90°

∴∠FEB＝α﹣90°+135°﹣α＝45°

可得：∠EFC＝45°，

∴∠EFC＝∠BFC＝45°

∴∠AFB＝90°

同理得：AF2+EF2＝2BC2，

∵BC＝5，EF＝8，

∴AF＝6，

∴AE＝14，

∵BC＝CE＝AC，

∴AH＝7，

∴FH＝1，

∴CF＝．