Question

8．如图，在菱形ABCD中，sin∠D=$\frac{4}{5}$，E，F分别是AB和CD上的点，BC=5，AE=CF=2，点P是线段EF上一点，则当△BPC是直角三角形时，CP的长为$\sqrt{5}$或4或$\frac{20}{11}$．

Answer 1

分析 根据∠D的正弦求出以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4，然后以DC所在的直线为x轴，点F为坐标原点建立平面直角坐标系，根据菱形的对角线互相垂直平方可知点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°，点P与点E重合时∠BPC=90°；∠BCP=90°时写出点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线OE、BC的解析式，再求出CP的解析式，然后联立直线OE、CP的解析式求出点P的坐标，再利用勾股定理列式计算即可求出CP．

解答 解：∵sin∠D=$\frac{4}{5}$，菱形边AD=BC=5，
∴以AD为斜边的直角三角形的两直角边分别为3、4
如图，以DC所在的直线为x轴，点F为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴点P为菱形的对角线的交点时∠BPC=90°，
此时，CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
点P与点E重合时∠BPC=90°，
此时，CP=4；
∠BCP=90°时，由图可知，点B（5，4）、C（2，0），
易求直线OE的解析式为y=2x，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
所以，直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
∵CP⊥BC，
∴设直线CP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+c，
将点C（2，0）代入得，-$\frac{3}{4}$×2+c=0，
解得c=$\frac{3}{2}$，
所以，直线CP的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{11}}\\{y=\frac{12}{11}}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（$\frac{6}{11}$，$\frac{12}{11}$），
此时，CP=$\sqrt{（\frac{6}{11}-2）^{2}+（\frac{12}{11}-0）^{2}}$=$\frac{20}{11}$，
综上所述，当△BPC是直角三角形时，CP的长为$\sqrt{5}$或4或$\frac{20}{11}$．
故答案为：$\sqrt{5}$或4或$\frac{20}{11}$．

点评 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标的方法，难点与解题的关键在于考虑利用平面直角坐标系求解，注意要分情况讨论．