Question

9．在?ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=2或4．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；
（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；
图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AP∥CQ，
∴∠APQ=∠CQB，
∴△ADP≌△CBQ，
∴DP=BQ，
∵AD=BD，AD=BC，
∴BD=BC，
∵BD=BP+DP，
∴BC=BP+BQ；
（2）图②：BQ-BP=BC，理由是：
∵AP∥CQ，
∴∠APB=∠CQD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABP=∠CDQ，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△CDQ，
∴BP=DQ，
∴BC=AD=BD=BQ-DQ=BQ-BP；
图③：BP-BQ=BC，理由是：
同理得：△ADP≌△CBQ，
∴PD=BQ，
∴BC=AD=BD=BP-PD=BP-BQ；
（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，
图②，BC=BQ-BP=PD-DQ=3-1=2，
∴BC=2或4．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定，动点P、Q在不同的位置，都能构建两个全等三角形，以三角形全等为突破口，得出线段相等，利用线段的和与差得出BP、BQ、BC三者之间的数量关系．