Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣（2）存在，（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8

【解析】

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得，

解得：a=，b=1，c=﹣

∴抛物线解析式：y=x2+x﹣

（2）存在．

∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2

∴P点坐标为（﹣1，﹣2）

∵△ABP的面积等于△ABE的面积，

∴点E到AB的距离等于2，

设E（a，2），

∴a2+a﹣=2

解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2

∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）

（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），

∴AB=4

若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

∴AB∥PF，AB=PF=4

∵点P坐标（﹣1，﹣2）

∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）

∴平行四边形的面积=4×2=8

若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

∴AB与PF互相平分

设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）

∴ ，

∴x=﹣1，y=2

∴点F（﹣1，2）

∴平行四边形的面积=×4×4=8

综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为8．