Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．动点P、Q同时从A点出发，点P沿线段AB→BC→CD的方向运动，速度为2cm/s；点Q沿线段AD的方向运动，速度为1cm/s．当P、Q其中一点先到达终点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm²）．
（1）当点P在线段AB上运动时（如图1），S与t之间的函数关系式为：______

Answer 1

【答案】分析：（1）当P在AB边上运动时（如图1），过B作BE垂直于AD，由梯形ABCD为等腰梯形，由下底与上底之差的一半求出AE，在直角三角形ABE中，得到AE等于AB的一半，而AQ等于AP的一半，且夹角为公共角得到三角形APQ与三角形ABE相似，进而确定出PQ垂直于AD，由AP与AQ，利用勾股定理表示出PQ，由AQ与PQ乘积的一半即可表示出S与t的函数关系式，再由AB的长，除以P运动的速度求出P到B的时间，即可确定出t的范围；
（2）当点P在线段BC上运动时（如图2），过P作PE⊥AD，由（1）得得到PE的长，三角形APQ以AQ为底，PE为高，利用三角形的面积公式表示出S与t的关系式即可，由AB+BC的长除以P运动的速度，求出时间t的值，即可确定出此时t的范围；
（3）当点P在线段CD上运动时（如图3），过P作PE垂直于AD，CF垂直于AD，可得出CF的长，由三角形PDE与三角形CDF相似，由相似得比例，将各自的值代入表示出PE，三角形APQ以AQ为底，PE为高，利用三角形的面积公式表示出此时S与t的关系式，并由AB+BC+CD的长除以P运动的速度，求出此时t的范围，分别求出三解析式中S的最大值，比较大小即可得到S的最大值．
解答：
解：（1）P在AB上运动时，过B作BE⊥AD，如图1所示，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=（AD-BC）=3cm，
在Rt△ABE中，AB=6cm，AE=3cm，即AB=2AE，
又∵AP=2tcm，AQ=tcm，即AP=2AQ，且∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABE，
∴∠PQA=∠BEA=90°，
在Rt△APQ中，根据勾股定理得：PQ=tcm，
则S=t²，（0＜t≤3）；
故答案为：S=t²；0＜t≤3；

（2）P在BC上运动时，过P作PE⊥AD，如图2所示，
由（1）得到PE=3cm，又AQ=tcm，
则S=AQ•PE=t（3＜t≤4）；

（3）P在CD上运动时，过P作PE⊥AD，CF⊥AD，如图3所示，
可得△PDE∽△CDF，由（1）得到CF=3，
则=，即=，
解得PE=（7-t）cm，又AQ=tcm，
则S=t（7-t）=-t²+t（4≤t＜7），
综上，P在AB上运动时，当t=3时，S取最大值，S最大为；
P在BC上运动时，当t=4时，S取最大值，S最大为6；
P在CD上运动时，当t=4时，S取最大值，S最大为6，
则点P在整个运动过程中，当t取4时，S的值最大，为6．
点评：此题考查了相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰梯形的性质，以及一次、二次函数的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．