Question

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点．
（1）请求出直线AB的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“两点法”可求直线AB解析式；
（2）求直径AB，得半径MC的值，由中位线定理得MN=

1

2

OB，CN=MC-MN，又CM垂直平分线段AO，可得C点横坐标及纵坐标，设抛物线顶点式，把B点坐标代入即可求抛物线解析式；
（3）由（2）可求线段DE的长，△ABC的面积可求，这样可求△PDE中DE边上的高，可表示P点的纵坐标，代入抛物线解析式求P点横坐标即可．

解答：解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB经过A（-6，0），B（0，-8），
∴由此可得

-6k+b=0 b=-8

解得

k=- 4 3 b=-8

∴直线AB的函数表达式为y=-

4

3

x-8．

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=

AO2+OB2

=

62+82

=10，
∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴半径MA=5，
设抛物线的对称轴交x轴于点N，
∵MN⊥x，
∴由垂径定理，得AN=ON=

1

2

OA=3．
在Rt△AMN中，MN=

MA2-AN2

=

52-32

=4，
∴CN=MC-MN=5-4=1，
∴顶点C的坐标为（-3，1），
设抛物线的表达式为y=a（x+3）²+1，
∵它经过B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入上式，
得-8=a（0+3）²+1，解得a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8．

（3）如图，连接AC，BC，
S_△ABC=S_△AMC+S_△BMC=

1

2

•MC•AN+

1

2

MC•ON=

1

2

×5×3+

1

2

×5×3=15．
在抛物线y=-x²-6x-8中，设y=0，则-x²-6x-8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4．
∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0），∴DE=2；
设在抛物线上存在点P（x，y），使得S_△PDE=

1

15

S_△ABC=

1

15

×15=1，
则S_△PDE=

1

2

•DE•|y|=

1

2

×2×|y|=1，∴y=±1，
当y=1时，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
当y=-1时，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+

2

，x₂=-3-

2

，
∴P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．
综上所述，这样的P点存在，
且有三个，P₁（-3，1），P₂（-3+

2

，-1），P₃（-3-

2

，-1）．

点评：本题主要考查方程、函数、三角形、圆等基础知识，考查综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力，考查待定系数法、数形结合、方程与函数的思想方法．