Question

分在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点P在BC上，且BP：PC=2：3，动点E在边AD上，过点P作PF⊥PE分别交射线AD、射线CD于点F、G．
（1）如图，当点G在线段CD上时，设AE=x，△EPF与矩形ABCD重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当点E在移动过程中，△DGF是否可能为等腰三角形？如可能，请求出AE的长；如不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）重叠的面积可由矩形减去小矩形ABHE、△EHP、△PCG求的，ABHE与△EHP的面积易求，又有△PEH∽△GPC，可得GC与x之间的关系，得出△PCG的面积，进而可求解；
（2）首先假设△DGF是等腰三角形，那么有 GD=FD，求出CG=CP=3，根据△EHP∽△PCG得出比例式，求出PH，得出H和B重合，推出A、E重合，即可求出AE=0．

解答：解：（1）过点E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴

PH

EH

=

GC

PC

，
∵BP：PC=2：3，BC=5，
∴PB=2，PC=3，
∴GC=

2-x

2

•3．
∴y=2×5-2x-

1

2

×（2-x）×2-

1

2

×3×

3(2-x)

2

=

5

4

x+

7

2

（

2

3

≤x＜2）；

（2）解：当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF=90°，
∴DF=DG，
∴∠G=∠GFD=45°，
∵∠C=90°，
∴∠GPC=45°=∠G，
∴CP=CG=3，
由（1）知：

PH

EH

=

GC

PC

，
∴

PH

2

=

3

3

，
PH=2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即当AE=0时，AD=4，FD=1，则△EPF与BC无交点，
则不存在△DFG是等腰三角形．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定问题，能够熟练掌握并运用．