Question

【题目】已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；

（2）若图1中△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长

（3）如图2，在(2)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交与PB点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）10；（3）线段EF的长度不变，长度为．

【解析】

（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；

（2）由题易得相似比为1:2，根据相似三角形的性质求出PC=4，设OP=x，则OB=x，CO=8-x，在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP的长，从而根据AB=AP=2OP求出AB长；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，证明三角形MQP为等腰三角形，MP=MQ，再证得△MFQ≌△NFB，得到QF=BF，EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（2）中结论求得PB的长就可以求出EF的长．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折叠可得：∠APO=∠B=90°．

∴∠APD=90°∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

（2）如图1：

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，△OCP∽△PDA，

∴．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，

∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8-x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，

∴x2=（8-x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（2）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB=．

∴EF=PB=．

∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为．