Question

17．如图，菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB、BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．
（1）请写出AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
（2）若M、N分别为线段AB、BC延长线上两点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？试画图并证明之．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质得出结论，进而判断出△BCM≌△CAN，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出△ACN≌△CBM，再判断出△AGC≌△DEC进而得出新的结论；

解答 解：（1）结论：EA+EC=ED．
理由：如图1中，连接AC，
∵菱形ABCD中，∠ADC=60°，
∴AC=CD=BC，∠BCD=∠BAD，∠ACN=∠B=60°，
在△BCM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠B=∠ACN}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEC=180°-（∠CAN+∠ACE）=180°-（BCM+∠ACE）=180°-∠ACB=180°-∠B=∠BAD=120°；
∴∠AEC+∠AC=180°，
∴A、E、C、D四点共圆，
∴∠CEG=∠CAD=60°，在ED上截取EG=CE，则△CEG为等边三形，
∴CG=CE，∠AEC+∠ECG=120°+60°=180°，
∴CG∥AE，
∴∠ACG=∠CAN=∠BCM，
∴∠ACE=∠BCG，
在△AEC和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DGC
∴AE=DG
∴DE=DG+EG=AE+CE，
∴AE+CE=DE

（2）不成立，结论是AE=CE+DE；
理由：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AB=BC=CD=AC，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BCM=∠ACN=120°，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=BM}\\{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△CBM
∴∠M=∠N，
∵∠BCM=∠NCE，
∵∠MBC=180°-（∠M+∠BCM），∠CEN=180°-（∠N+∠ECN）
∴∠MBC=∠CEN
∴∠ABC=∠AEC
∵∠ABC+∠BAD=180°
∴∠AEC+∠BAD=180°，∵∠BAD=120°，
∴∠AEC=60°
在EA上截取EG=CE，则△CEG为等边三角形，
∴CG=CE，∠ECG=∠ACD=60°，
∴∠ACG=∠DCE，
在△AGC和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△DEC
∴AG=DE
∴AE=EG+AG=CE+DE，
∴AE=CE+DE；

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中线的范围的确定方法，解本题的关键是△ACN≌△CBM是一道中等难度的中考常考题．