Question

如图，将·A＝6，AB＝4的矩形·ABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿A·向终点·运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交·B于点P，连接MP．

(1)点B的坐标为________；用含t的式子表示点P的坐标为________；

(2)记△·MP的面积为S，求S与t的函数关系式(0＜t＜6)；并求t为何值时，S有最大值？

(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△·NC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△·NC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(6，4)；()．(其中写对B点得1分)　　3分 　　(2)∵S△·MP＝×·M×，　　4分 　　∴S＝×(6－t)×＝＋2t． 　　＝(0＜t＜6)．　　6分 　　∴当时，S有最大值．　　7分 　　(3)存在由(2)得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M(3，0)，N(3，4)， 　　则直线·N的函数关系式为：． 　　设点T的坐标为(0，b)，则直线MT的函数关系式为：， 　　解方程组得 　　∴直线·N与MT的交点R的坐标为． 　　∵S△·CN＝×4×3＝6，∴S△·RT＝S△·CN＝2．　　8分 　　①当点T在点·、C之间时，分割出的三角形是△·R1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△·R1T1＝　　RD1·T＝··b＝2． 　　∴， b＝． 　　∴b1＝，b2＝(不合题意，舍去) 　　此时点T1的坐标为(0，)．　　9分 　　②当点T在·C的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 　　S△R2NE＝·EN·R2D2＝··＝2． 　　∴，b＝． 　　∴b1＝，b2＝(不合题意，舍去)． 　　∴此时点T2的坐标为(0，)． 　　综上所述，在y轴上存在点T1(0，)，T2(0，)符合条件．10分