Question

已知：如图，直线EF与⊙O相切于点C，AB是⊙O的直径，且BC=3，Ac=4．
（1）求半径OC的长；
（2）在切线EF上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与△ACO相似．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵BC=3，AC=4
∴AB==5
∴OC=AB=；

（2）∵EF是⊙O的切线，
∴∠BCF=∠A，
因此点M必在射线CF上，
设点M在射线CF上，截取CM₁=，CM₂=，
那么点M₁、M₂为符合条件的点M．
分析：（1）由于OC是半径，因此可在Rt△ACB中，利用勾股定理求得直径AB长即可；
（2）由弦切角定理知：∠BCF=∠A，因此只需令∠CBM=∠OCA即可，由于△AOC是等腰三角形，若存在M点，则△BMC也必为等腰三角形，因此M点可能有两种情况：①M点为BC垂直平分线与EF的交点；②以B为圆心，BC为半径作弧，与EF的交点即为M点．
点评：本题考查的是圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质；需注意的是题中的相似三角形没有告诉对应顶点，应分情况进行讨论．