Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形.... 按如图的方式放置．点和点分别落在直线和轴上．抛物线过点,且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，...按此规律，抛物线,过点, 且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点(其中且为正整数) ．

（1）直接写出下列点的坐标： ， ；

（2）写出抛物线的解析式，并写出抛物线的解析式求解过程，再猜想抛物线的顶点坐标；

（3）设，试判断与的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为，抛物线的解析式过程见解析；抛物线的顶点坐标为；（3）与的数量关系为，理由见解析．

【解析】

（1）先求出A1坐标，根据正方形性质，求出B1坐标，进而求出A2坐标，最后求出B2坐标；

（2）根据A2点B2的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；根据A3B3的坐标求出抛物线的对称轴，根据的顶点在上求出顶点坐标，进而利用顶点式求出解析式；写出三条抛物线的顶点坐标，找出规律，写出 的顶点坐标；

（3）根据（2）求出D1，D2坐标，进而求出，，，长， 最后求出，比较即可 ．

解：（1）把x=0代入得y=-1，∴点A1坐标为(0，-1) ；

∵四边形 是正方形

∴A1 B1=1，∴点B1坐标为(0，-1) ；

把x=1代入得y=-2，∴点A2坐标为(1，-2) ；

∵四边形是正方形

∴A2 B2=2，∴点B2坐标为(3，-2) ；

∴

（2）解：由（1）得点A2坐标为(1，-2)，点B2坐标为(3，-2)，

抛物线的对称轴为直线

把代入得，

抛物线的顶点为

设抛物线的解析式为：

抛物线过点

当时，

解得

抛物线的解析式为：

把代入得，∴点A3坐标为(3，-4)

∵四边形 是正方形

∴A3 B3=4，∴点B3坐标为(7，-4) ；

∴抛物线的对称轴为直线

把代入得，

抛物线的顶点为

设抛物线的解析式为: ，

抛物线过点

解得

抛物线的解析式为：，

根据抛物线的顶点为

抛物线的顶点为，

抛物线的顶点为

得抛物线的顶点坐标为

（3）与的数量关系为

理由如下；由（2）得抛物线的解析式为

当时，

解得（舍去）

即

由（2）得抛物线的解析式为

当时，

解得（舍去）

即

．