Question

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计：
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．

观察计算：
（1）在方案一中，d₁=

 

km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d₂的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
d₂=

 

km（用含a的式子表示）．
探索归纳
（1）①当a=4时，比较大小：d₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②当a=6时，比较大小：d₁（

 

）d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

Answer 1

分析：运用勾股定理和轴对称求出d₂，根据方法指导，先求d₁²-d₂²，再根据差进行分类讨论选取合理方案．

解答：解：（1）∵A和A'关于直线l对称，

∴PA=PA'，
d₁=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案为：a+2；

（2）因为BK²=a²-1，
A'B²=BK²+A'K²=a²-1+5²=a²+24
所以d₂=

a2+24

．
探索归纳：
（1）①当a=4时，d₁=6，d₂=

40

，d₁＜d₂；
②当a=6时，d₁=8，d₂=

60

，d₁＞d₂；
（2）d12-d22=(a+2)2-(

a2+24

)2=4a-20．
①当4a-20＞0，即a＞5时，d₁²-d₂²＞0，
∴d₁-d₂＞0，
∴d₁＞d₂；
②当4a-20=0，即a=5时，d₁²-d₂²=0，
∴d₁-d₂=0，
∴d₁=d₂
③当4a-20＜0，即a＜5时，d₁²-d₂²＜0，
∴d₁-d₂＜0，
∴d₁＜d₂
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．

点评：本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．