Question

如图，点O是四边形BCED外接圆的圆心，点O在BC上，点A在CB的延长线上，且∠ADB=∠DEB，EF⊥BC于点F，交⊙O于点M，EM=2

5

．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若弧BM上有一动点P，且DE=

14

，sin∠CPM=

2

3

，求tan∠DBE的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥AD即可；可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明．
（2）已知了∠CPM的正弦值，也就得到∠CEF的正弦值，进而可通过解直角三角形求得CF的长，进而可在Rt△BEC中，利用射影定理求得BF的长，即可得到⊙O的直径；过E作⊙O的直径EN，连接DN，根据圆周角定理，即可将∠DBE转化到Rt△DNE中，先利用勾股定理求得DN的长，然后再求出∠DNE（即∠DBE）的正切值即可．

解答：（1）证明：连接OD；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即∠DBO+∠DCB=90°；
又∵∠ADB=∠BED=∠DCB，且∠OBD=∠ODB，
∴∠ADB+∠ODB=∠DCB+∠DBO=90°，
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半径，
故AD是⊙O切线．

（2）解：由圆周角定理知：∠CPM=∠CEM，即sin∠CEF=

2

3

；
设CF=2x，则CE=3x，由勾股定理得：EF=

5

x；
而EF=

1

2

EM=

5

，即x=1，CF=2，CE=3；
在Rt△BEC中，EF⊥BC，由射影定理得：
BF=EF²÷CF=

5

2

，则BC=CF+BF=

9

2

；
过E作直径EN，连接DN，则EN=BC=

9

2

；
在Rt△DNE中，DE=

14

，EN=

9

2

，由勾股定理得：DN=

5

2

；
∴tan∠DNE=

DE

DN

=

2 14

5

；
∴tan∠DBE=tan∠DNE=

2 14

5

．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理以及解直角三角形等相关知识，难度适中．