Question

某市电视台在黄金时段的4分钟广告时间内，计划插播长度为30秒和60秒得两种广告．30秒广告每播1次收费1.5万元，60秒广告每播1次收费2.4万元，若要求每种广告播放不少于1次，设30秒广告播放x次，60秒广告播放y次．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）两种广告的播放次数哪几种安排方式？
（3）电视台选择哪种方式播放收益最大？最大收益为多少？

Answer 1

分析：（1）关系式为：30秒的广告时间+60秒的广告时间=4×60，整理即可；
（2）根据题意可知，播放每种广告的次数≥1，播放30秒的广告的时间+播放60秒的广告的时间=4×60．根据以上条件，可列出方程组求整数解即可；
（3）要收益更大，就是说广告费最少．由（2）得到的安排方式，可求出没种安排方式所用的钱，再比较．

解答：解：（1）30x+60y=4×60，
y=-

1

2

x+4；

（2）依题意有

30x+60y=4×60 x≥1 y≥1

解得

x=2 y=3

或

x=4 y=2

或

x=6 y=1

；
答：两种广告的播放次数有3种安排方式，播放30秒的广告的次数是2时，播放60秒的广告的次数是3；播放30秒的广告的次数是4时，播放60秒的广告的次数是2；播放30秒的广告的次数是6时，播放60秒的广告的次数是1；

（3）当x=2，y=3时，1.5×2+2.4×3=10.2（万元）；
当x=4，y=2时，1.5×4+2.4×2=10.8（万元）
当x=6，y=1时，1.5×6+2.4×1=11.4（万元）
所以播放30秒的广告的次数是6时，播放60秒的广告的次数是1，收益最大为11.4万元．

点评：考查一次函数的应用；判断出不定方程组的正整数解是解决本题的难点．