Question

芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图1，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成如图2的图标．则图标中阴影部分图形AFEGD的面积=

 

．

Answer 1

分析：根据等边三角形与正方形的性质，求出∠EBO，再在直角三角形BOF中利用角的正切求出边OF，从而得知S_△BOF，S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF；同理求得S_△CGD，所以图标中阴影部分图形AFEGD的面积就是：S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD

解答：解：方法1：设AC与BD交于点O，
∵AC、BD是正方形的对角线，
∴AC⊥BD，OA=OB，
在△BCE中，∠EBC=60°，∠OBC=45°，
∴∠EBO=60°-45°，
∴FO=tan（60°-45°）•OB，
∴S_△BOF=

1

2

OF•OB=

1

2

tan（60°-45°）•OB²，
∴S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF=

1

2

OA•OB-

1

2

tan（60°-45°）•OB²=

1

2

OB2-

1

2

tan（60°-45°）•OB²=

3 -1

2

OB²，
同理，得S_△CGD=

3 -1

2

OB²，
∵S_△CBE=

1

2

CB•BEsin60°=

1

2

BC2sin60°=

3

4

AB²，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=AB²-

3

4

AB²-(

3

-1)OB²，
∵OB=

1

2

BD，BD²=AB²+AD²，AB=AD=1，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=1-

3

4

-（

3

-1)×

1

4

×（1+1）=

3

2

-

3 3

4

，
图标中阴影部分图形AFEGD的面积=

3

2

-

3 3

4

．

方法2：过G作GH⊥CD于H，
则易得△GDH是等腰直角三角形，设DH=GH=x，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ECD=90°-60°=30°，
∴CH=GH÷tan30°=x÷

3

3

=

3

x，
∵CD=DH+CH=1，
即x+

3

x=1，
x（1+

3

）=1，
解得x=

1

1+ 3

=

1- 3

(1+ 3 )(1- 3 )

=

3 -1

2

，
∴S_△CGD=

1

2

×1×

3 -1

2

=

3 -1

4

同理S_△BFA=

3 -1

4

易得S_△BCE=

3

4

∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△BCE-S_△BAF-S_△CGD
=1-

3

4

-

3 -1

4

-

3 -1

4

=

3

2

-

3 3

4

．
故答案为：

3

2

-

3 3

4

．

点评：解答本题的难点是求直角三角形ABO中的三角形ABF的面积，在突破难点时，充分利用了等边三角形、正方形的性质以及直角三角形中的边角函数关系．