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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．
    （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
    （2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
    （3）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由．
    分析：（1）先由题意求出P、Q两点移动的速度，再设经过t分钟，线段PQ的长度为2，用y表示出PM及QM的长，由勾股定理即可求出t的值；
    （2）由（1）中PM及QM的长度即可得出线段PQ长度的平方，y与时间t之间的函数关系式及t的取值范围；
    （3）由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
    解答：解：∵A（2，4），
    ∴OM=2，AM=4，
    ∵点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，
    ∴点P的速度度2，点Q速度的4，
    （1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，
    在Rt△PQM中，
    ∵PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）．
    答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；

    （2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，
    在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，
    整理得，y=20t2-8t+4（0≤t≤1）；

    （3）存在．
    ∵A（2，4），
    ∴N（0，4），M（2，0），
    ∴ON=4，OM=2，
    当△MON∽△PMQ时，
    OM
    MP
    =
    ON
    MQ
    ，即
    2
    2-2t
    =
    4
    4t
    ，解得t=0.5；
    当△MON∽△QMP时，
    OM
    MQ
    =
    ON
    MP
    ，即
    2
    4t
    =
    4
    2-2t
    ，解得t=0.2．
    故当t=0.5分或t=0.2分时P、Q、M构成的三角形与△MON相似．
    点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的性质及勾股定理，根据题意用t表示出PM及QM的长度是解答此题的关键．
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    3
    2
    ，-
    7
    4
    ）的直线y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A、B，且经过第一、三、四象限，它与抛物线y=x2-4x+3只有一个公共点．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点．
    （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
    （2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
    （3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；
    （4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由．

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