Question

【题目】已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N作ND⊥x轴于点D，且DN＝1，已知点P是x轴（除原点O外）上一点.

（1）直接写出M、N的坐标及k的值；

（2）将线段CP绕点P按逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点Q的坐标；如果不能，请说明理由；

（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3）存在，S的坐标为或.

【解析】

（1）根据题意可得M点的横坐标为1，代入一次函数计算可得纵坐标，进而可得M点的坐标，已知N点的纵坐标，代入一次函数可得N点的横坐标，进而可得N点的坐标；

（2）设P点的坐标为（x,0），根据C、P可以计算出CP所在直线的解析式，进而可得PQ所在直线的解析式，就可以表示Q点的坐标，在代入反比例函数，即可求得x,从而可得Q点的坐标;

（3）根据P点的坐标，将四边形其余各点都表示出来，再代入反比例函数看是否有解，有解则说明此点存在，无解说明不存在，进而可得S点的坐标。

解：（1）当时，，.

当时，，解得，

将点代入得，

；

（2）若CP逆时针旋转，点Q在双曲线上，

设，则，

，即，

，

；

（3）设，

当MN为平行四边形的一条边时，则，

把S点的坐标代入，得，解得.

当MN为平行四边形的对角线时，则，

把S点的坐标代入，得，解得，

∴存在，S的坐标为或.