Question

同学们，在学习了轴对称变换后我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题．我们通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题．
（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在△ABC内部时，我们不仅可以发现AE=A′E，AD=

 

，而且我们还可以通过发现∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠

 

，∠A=∠A′，从而求得∠1+∠2=2∠A．
（2）如图②，当点A落在△ABC外部时，我们发现∠2=∠DFA+∠

 

，∠DFA=∠1+∠

 

，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在这里还成立吗？如成立，请说明理由．如不成立，请写出成立的式子并说明理由．
（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，请你模仿图①，图②，画出相应的示意图并求出△CDE的周长．

Answer 1

分析：（1）根据图形翻折变换的性质可知，AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，由图形翻折变换的性质可得到∠A=∠A′，再由∠2=∠DFA+∠A即可得出∠1+∠2=2∠A；
（2）由图形翻折变换的性质可得到∠A=∠A′，再根据∠2=∠DA′A+∠DAA′即可求出答案；
（3）根据题意画出图形，再根据图形翻折变换的性质即可得出结论．

解答：解：（1）AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，（1分）

（2）∠2=∠DEA+∠A，∠DFA=∠1+∠A’（3分）
如图②由图形翻折变换的性质可知，∠A=∠A′，
连接AA′，
则∠2=∠DA′A+∠DAA′
=∠DA′E+∠EA′A+∠DAE+∠A′AE，
=2∠A+∠EA′A+∠A′AE
=2∠A+∠1即∠2-∠1=2∠A；

（3）当如图③所示折叠时，
△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+EB
=CD+CB
=

1

2

AC+CB
=

1

2

×6+8
=11；
当如图④所示折叠时，
△CDE的周长=CD+CE+DE
=CD+CE+AE
=CD+AC
=

1

2

CB+AC
=

1

2

×8+6
=10．

点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即图形翻折变换后所得图形与原图形全等．