Question

【题目】已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．

（1）求证：MN⊥BD．

（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）等腰直角三角形，理由详见解析.

【解析】

（1）由直角三角形斜边中线的性质可得BM＝AC，DM＝AC，即可证明BM=DM，由N是BD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AM＝AC＝BM，即可证明∠BAM=∠ABM，利用三角形外角性质可得∠MBC=2∠BAM，同理可得∠DMC=2∠DAM，利用角的和差关系可得∠BDM=90°，由BM=DM即可得出△MBD为等腰直角三角形.

（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点，

∴BM＝AC，DM＝AC，

∴BM＝DM，

∵N是BD的中点，

∴MN⊥BD．

（2）等腰直角三角形，理由：

∵M是AC的中点，∠ABC=90°，

∴AM＝AC＝BM，

∴∠BAM＝∠ABM，

∴∠BMC＝2∠BAM，

同理可得∠DMC＝2∠DAM，

又∵∠BAD＝45°，

∴∠BDM=∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，

又∵BM＝DM，

∴△BDM是等腰直角三角形．