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如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;
(2)若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明;
(3)直线y=mx+2与抛物线交于T,Q两点.是否存在这样的实数m,使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据顶点式设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将N(2,3)代入求a,确定抛物线解析式,根据抛物线解析式求点A、B、C的坐标;
(2)根据M、C两点坐标求直线y=kx+t解析式,得出D点坐标,求线段AD,由C、N两点坐标可知CN∥x轴,再求CN,证明CN与AD平行且相等,判断断四边形CDAN是平行四边形;
(3)存在.如图设T(x1,y1),Q(x2,y2),分别过T、Q作TF⊥y轴,QG⊥x轴,联立直线TQ解析式与抛物线解析式,可得x1,y1,x2,y2之间的关系,当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时,∠TOQ=90°,利用互余关系可证△TOF∽△QOG,利用相似比得出线段关系,结合x1,y1,x2,y2之间的关系求m的值.
解答:解:(1)抛物线的顶点坐标为M(1,4),设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,
将N(2,3)代入,得a(2-1)2+4=3,解得a=-1,
所以,抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3,
令x=0,得y=3,则C(0,3),
令y=0,得x=-1或3,则A(-1,0),B(3,0);

(2)四边形CDAN是平行四边形.
理由:将C(0,3),M(1,4),代入直线y=kx+t中,得
t=3
k+t =4

解得
k=1
t=3
,直线CM解析式为y=x+3,则D(-3,0),
∵C(0,3),N(2,3),∴CN∥x轴,且CN=2-0=2,
又∵A(-1,0),D(-3,0),∴AD=-1-(-3)=2,
∴四边形CDAN是平行四边形;

(3)存在.
如图设T(x1,y1),Q(x2,y2),分别过T、Q作TF⊥y轴,QG⊥x轴,
联立
y=-x2+2x+3
y=mx+2
,解得x2+(m-2)x-1=0,
则x1+x2=2-m,x1x2=-1,
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时,∠TOQ=90°,
则∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°,
则∠TOF=∠QOB,而∠TFO=∠QGO=90°,
所以,△TOF∽△QOG,
TF
QG
=
OF
OG
,即
-x1
y2
=
y1
x2

x1x2+y1y2=0,-1+(mx1+2)(mx2+2)=0,
-1+m2x1x2+2m(x1+x2)+4=0,
-1-m2+2m(2-m)+4=0,整理,得3m2-4m-3=0,
解得m=
13
3
点评:本题考查了二次函数的综合运用.根据利用抛物线的顶点式求抛物线解析式,利用解析式求抛物线与坐标轴的交点,根据平行四边形的判定定理,判断平行四边形,利用互余关系证明相似三角形,利用相似三角形的性质求解.
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6
m
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3
m
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5
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