Question

11．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂是该方程的两个实数根，求证：x₁x₂=k²+k；
（3）在（2）的条件下，若x${\;}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁+2x₁x₂=0，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，根据判别式的意义即可证明方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系即可证明；
（3）根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系得出${x}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁+k²+k=0，x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，则${x}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁=-k²-k，将它们代入x${\;}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁+2x₁x₂=0，即可求出k的值．

解答 （1）证明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）证明：∵x₁，x₂是该方程的两个实数根，
∴x₁x₂=k²+k；

（3）解：∵x₁，x₂是该方程的两个实数根，
∴${x}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁+k²+k=0，x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+k，
∴${x}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁=-k²-k，
∵x${\;}_{1}^{2}$-（2k+1）x₁+2x₁x₂=0，
∴-k²-k+2（k²+k）=0，
∴k²+k=0，
解得k=0或-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．