Question

19．将平行四边形ABCD（如图）绕点C旋转后，点D落在边BC上的点D′，点A落到A′，且点A′、B、A在一直线上．如果AB=3，AD=13，那么cos A=$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得∠DCB=∠D′CB′，CB=CB′=C′D′=13，再由CB′∥A′D′得∠D′CB′=∠BD′A′，根据平行线的性质得到∠C=∠C′BD′，推出△A′BD′为等腰三角形，作A′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH=D′H，由于BD′=10得到D′H=5，然后根据余弦的定义即可得到结论．

解答 解：∵?ABCD绕点C旋转后得到?A′B′CD′，
∴∠DCB=∠D′CB′，CB=CB′=A′D′=13，
∵CB′∥A′D′，
∴∠D′CB′=∠BD′A′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠DCB，
∴∠A=∠BD′A′，
∵点A′、B、A在一直线上，
而CB∥AD，
∴∠A=∠A′BD′，
∴∠A′BD′=∠BD′A′，
∴△A′BD′为等腰三角形，
作A′H⊥D′B，则BH=D′H，
∵CB=13，AB=3，
∴BD′=10，
∴D′H=5，
∴cos∠HD′A′=$\frac{D′H}{D′A′}$=$\frac{5}{13}$，
即cos A=$\frac{5}{13}$．
故答案为$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．