Question

11．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE，DB相交于点M，N．
（1）求$\frac{EM}{DM}$的值；
（2）求AM和MN的长．

Answer 1

分析 （1）延长DC、AF交于点G，由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD，CD=AB=2，BC=AD=3，证出△ABF和△ADG是等腰直角三角形，得出DG=AD=3，证出△AEM∽△GDM，得出$\frac{EM}{DM}=\frac{AE}{DG}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由勾股定理求出AG，由平行线证明△AEM∽△GDM，得出$\frac{AM}{GM}$=$\frac{EM}{DM}=\frac{AE}{DG}$=$\frac{1}{3}$，求出AM的长，再证明△ABN∽△GDN，得出$\frac{AN}{GN}=\frac{AB}{GD}$，求出AN的长，即可得出MN的长．

解答 解：（1）延长DC、AF交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵BF=2FC，
∴BF=2，CF=1，
∴BF=AB，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
∴∠DAG=90°-45°=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴DG=AD=3，
∵E为AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴$\frac{EM}{DM}=\frac{AE}{DG}$=$\frac{1}{3}$；
（2）∵△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴$\frac{AM}{GM}$=$\frac{EM}{DM}=\frac{AE}{DG}$=$\frac{1}{3}$，
∴AM=$\frac{1}{4}$AG=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵AB∥DC，
∴△ABN∽△GDN，
∴$\frac{AN}{GN}=\frac{AB}{GD}$，
∴$\frac{AN}{GN}=\frac{2}{3}$，
∴AN=$\frac{2}{5}$AG=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∴MN=AN-AM=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{20}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，证明三角形相似是解决问题的关键．