Question

【题目】已知抛物线顶点在轴负半轴上，与轴交于点，，为等腰直角三角形.

（1）求抛物线的解析式

（2）若点在抛物线上，若为直角三角形，求点的坐标

（3）已知直线过点，交抛物线于点、，过作轴，交抛物线于点，求证：直线经过一个定点，并求定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）（-1,4）

【解析】

（1）先求出顶点坐标与y轴交点坐标，根据顶点式求二次函数解析式；

（2）根据直角三角形的判定定理找出△ABC为直角三角形，分三种情况：当A为直角顶点时，AC⊥AB；当B为直角顶点时，BC⊥AB；当C为直角顶点，分别确定点C的坐标；

（3）根据二次函数与方程的关系求解．

（1）∵OB=1，点B在y轴的正半轴上，

∴B（0，1），

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴OA=OB=1，

∵顶点A在x轴负半轴上，

∴顶点A（-1，0），

∴设y=a(x+1)2,

把B（0，1）代入得

1=a×(0+1)2,

∴a=1,

∴,

（2）当A为直角顶点时，AC⊥AB，

设直线AB解析式为y=mx+n，

∵B（0，1），A（-1，0），

∴,

∴,

∴直线AB解析式为y=x+1，

∵AC⊥AB，

∴直线AC解析式为y=-x-1，

联立得,

解得：，,

∴C（-2，1）.

当B为直角顶点时，BC⊥AB，

∵直线AB解析式为y=x+1，

∴直线BC解析式为y=-x+1，

同理可得C（-3，4），

当C为直角顶点不存在 .

综上所述点C坐标为（-2，1）或（-3，4），

（3）设DE的解析式为，

联立，

∴，

得：，

∵D，E关于对称轴对称，

所以，

设EF的解析式为联立，

，

得，

，

联立①②③④得n=m+4，

所以，过定点（-1，4），

即直线EF经过一个定点，定点的坐标为（-1，4）．