Question

△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
(1) 证明：△BDG≌△CEF；
(2) 设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果精确到十分位）
(3) 小颖想：不求正方形的边长我也能画出正方形．具体作法是：如图3
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．你认为小颖的作法正确吗？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵DEFG为正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF（AAS）
（2）设正方形的边长为x，作△ABC的高AN，交BC于点N，交GF于点M

∵AN为等边△ABC的高，AB=2
∴AN=，AM=-
∵△AGF∽△ABC
∴
∴
∴
∴正方形的边长约为0.9
（3）正确  理由如下：
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥
∴
同理
∴
又∵
∴FE=FG
∴矩形GDEF为正方形

（1）根据正方形的性质可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等边三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了；
(2)．设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，可以求出AH的长，然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例；可以列出关于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的边长；
(3)．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．