【题目】 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,点B,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于点D,过点B作BE⊥x轴,交DC延长线于点E,连接BD,交y轴于点F,直线BD的解析式为y=﹣x+2.
(1)写出点E的坐标;抛物线的解析式.
(2)如图2,点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动,同时,点Q在线段BD上从点B向点D以个单位长度/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,当t为何值时,△PQB为直角三角形?
(3)如图3,过点B的直线BG交抛物线于点G,且tan∠ABG=,点M为直线BG上方抛物线上一点,过点M作MH⊥BG,垂足为H,若HF=MF,请直接写出满足条件的点M的坐标.
【答案】(1)点E坐标为(2,5),y=﹣x2﹣+5;(2)t=或时,△PQB为直角三角形;(3)点M坐标为(﹣4,3)或(0,5).
【解析】
(1)由待定系数法求点坐标及函数关系式;
(2)根据题意,△DEB为等腰直角三角形,通过分类讨论∠PQB=90°或∠QPB=90°的情况求出满足条件t值;
(3)延长MF交GB于K,由∠MHK=90°,HF=MF可推得HF=FK,即F为MK中点,设出M坐标,利用中点坐标性质,表示K点坐标,代入GB解析式,可求得点M坐标.
将点D(-3,5)点B(2,0)代入y=ax2+bx+5
解得
∴抛物线解析式为:y=-x2-x+5
(2)由已知∠QBE=45°,PE=t,PB=5-t,QB=t
当∠QPB=90°时,△PQB为直角三角形.
∵∠QBE=45°
∴QB=PB
∴t= (5t)
解得t=
当∠PQB=90°时,△PQB为直角三角形.
△BPQ∽△BDE
∴BQBD=BPBE
∴5(5-t)=t5
解得:t=
∴t=或时,△PQB为直角三角形.
(3)由已知tan∠ABG=,且直线GB过B点
则直线GB解析式为:y=x1
延长MF交直线BG于点K
∵HF=MF
∴∠FMH=∠FHM
∵MH⊥BG时
∴∠FMH+∠MKH=90°
∠FHK+∠FHM=90°
∴∠FKH=∠FHK
∴HF=KF
∴F为MK中点
设点M坐标为(x,-x2-x+5)
∵F(0,2)
∴点K坐标为(-x,x2+x-1)
把K点坐标代入y=x1
解得x1=0,x2=-4,
把x=0代入y=-x2-x+5,解得y=5,
把x=-4代入y=-x2-x+5
解得y=3
则点M坐标为(-4,3)或(0,5).
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【题目】已知,,,斜边,将绕点顺时针旋转,连接.
(1)如图,连接,作,垂足为,求的面积和线段的长;
(2)如图,点是线段的中点,点是线段上的动点(不与点重合),求周长的最小值.
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【题目】如图,二次函数的图像与坐标轴交于点A(1, 0)和点C.经过点A的直线与二次函数图像交于另一点B,点B与点C关于二次函数图像的对称轴对称.
(1)求一次函数表达式;
(2)点P在二次函数图像的对称轴上,当△ACP的周长最小时,请求出点P的坐标.
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【题目】如图,某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直地面BC),在地面C处测得点E的仰角α=45°,从点C沿CB方向前行40米到达D点,在D处测得塔尖A的仰角β=60°,求点E离地面的高度EF.(结果精确到0.1米)
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【题目】如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上的点,∠ACD=2∠A,CE⊥DB交DB的延长线于点E.
(1)求证:直线CE与⊙O相切;
(2)若AC=8,AB=10,求CE的长.
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【题目】我们把正边形()的各边三等分,分别以居中的那条线段为一边向外作正边形,并去掉居中的那条线段,得到一个新的图形叫做正边形的“扩展图形”,并将它的边数记为,如图,将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”,且.图、图分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”。
(1)如图,在的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形,请在图中用实线画出此正方形的“扩展图形”;
(2)已知,则图中=_____,根据以上规律,正边形的“扩展图形”的=______;(用含的式子表示)
(3)已知,且,则=_____.
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【题目】四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=AD,线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,连接AC、ED.
(1)求证:AC=DE;
(2)若DC=4,BC=6,∠DCB=30°,求AC的长.
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【题目】某班为了解学生每周进行体育锻炼的时间情况,对全班名学生进行调查,按每周进行体育锻炼的时间(单位:小时),将学生分成五类:类,类,类,类,类.绘制成尚不完整的条形统计图如图. 根据以上信息,解答下列问题:
(1)类学生有 人,补全条形统计图;
(2)类学生人数占被调查总人数的 %;
(3)从该班每周进行体育锻炼时间在的学生中任选人人,求这人每周进行体育锻炼时间都在中的概率.
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