Question

2．在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（0，1），C（-4，0）．点D（4，m）在直线AB上，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c恰好过A、D两点，点P（0，n）是抛物线对称轴上的一动点，将点P向左平移2个单位长度，对应点为E，连接PF、CE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在运动时，CE，PE，PD三条线段长度之和是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标．
（3）连接PA，请直接写出能够满足P，A，D三点组成直角三角形的所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得直线AB的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，可得PA与CE的关系，根据两点之间线段最短，可得P在线段AD上，可得P点坐标；
（3）根据根据勾股定理，可得PA²=m²+4．PD²=16+（m-3）²，AD²=32+62，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
当x=4时，y=3，即D（4，3）．
将A（-2，0），D（4，3）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}×（-2）^{2}-2b+c=0}\\{\frac{1}{4}×{4}^{2}+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-1；
（2）由点P向左平移2个单位长度，对应点为E，得
PE=2，
CE，PE，PD三条线段长度之和为CE+PD最小，
∵AP=CE，
∴CE+PD=AP+PD．
当点P位于B处时，CE，PE，PD三条线段长度之和有最小值，此时P（0，1）．
（3）设P点坐标为（0，m），则PA²=m²+4．PD²=16+（m-3）²，AD²=32+62，
①PA²=PD²+AD²，m²+4=16+（m-3）²+94，解得m=11，
②PD²=PA²+AD²，m²+4+94=16+（m-3）²，解得m=-4
③AD²=PA²+PD²，m²+4+16+（m-3）²=94，解得m₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
能够满足P，A，D三点组成直角三角形的所有点P的坐标（0，11）；（0，-4）；（0，$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$）；（0，$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式，（2）利用两点之间线段最短得出P在AD上是解题关键，（3）利用勾股定理及逆定理得出关于m的方程是解题关键．