Question

已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．
（1）如图1，当PC=PB时，则S_△PBE、S_△PCF S_△BPC之间的数量关系为______；
（2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S_△PBE+S_△PCF=4S_△BPG；
（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF于点N，若S_△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．

Answer 1

解：（1）如图1所示：过点P作PI⊥BC于点I，
∵PB=PC，
∴PI∥BE∥CF，
∴PI是梯形BCFE的中位线，
∴PI=（BE+CF），
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴PI=BI=CI，
∴S_△PBE+S_△PCF=BE•BI+CF•CI=BE×BC+CF•BC=BC（BE+CF）=BC•PI=S_△PBC；

（2）如图2，过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠EPB+∠BPG=90°，
∵∠BPG+∠CPG=90°，
∴∠EPB=∠CPG，
同理，∵∠EBP+∠PBC=90°，∠PBC+∠BCP=90°，
∴∠EBP=∠BCP，
∴△EPB∽△GPC，
∵PC=2PB，
∴=（）²=
∴S_△GPC=4S_△EPB，
同理可得S_△FPC=4S_△GPB，
∵S_△PBG+S_△PGC=S_△BPC，
∴16S_△PBE+S_△PFC=4S_△BPC；

（3）如图3，设正方形的边长为a（a＞0），
∵∠BPC=90°，PC=2PB，S_△BPC=80，
∴••=80，解得a=20，
由（2）知，△EPB∽△GPC，
∴CG=2BE=12，
∴BG=8，
∴CF=16，DF=4，
过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T，
∵PM⊥BC，BC=20，S_△BPC=80，
∴PM=8，
∴PH=12，PT=16，FT=8，
∵∠PQF=90°，
∴由勾股定理得，（HQ²+HP²）+（DQ²+DF²）=PT²+TF²，即（16-DQ）²+12²+（DQ²+4²）=16²+8²，解得DQ=4或DQ=12，
当DQ=4时，
∵DQ=DF=4，∠PQF=90°，DN为∠QDF的角平分线，
∴DN=QD=2；
当DQ=12时，过点N作NN₁⊥QD于N₁，
∵∠QOF=90°，DN为∠QDF的角平分线，
∴∠QDN=45°，
∵NN₁⊥AD，
∴NN₁=N₁D，△QDF∽△QN₁N，
∴=，=，解得NN₁=3，
∴DN===3，
综上所述，DN=2或3．
故答案为：S_△PBE+S_△PCF=S_△BPC．
分析：（1）过点P作PI⊥BC于点I，由PB=PC可知PI∥BE∥CF，故PI是梯形BCFE的中位线，由梯形的中位线定理可知，PI=（BE+CF），由于△PBC是等腰直角三角形，故PI=BI=CI，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°，由相似三角形的判定定理得出△EPB∽△GPC，由相似三角形的性质可知S_△GPC=4S_△EPB，同理可得S_△EPC=4S_△GPB，故可得出结论；
（3）设正方形的边长为a（a＞0），由PC=2PB，S_△BPC=80可求出a的值，由（2）中△EPB∽△GPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T，由勾股定理可求出DQ的长，当DQ=4时，由等腰三角形的性质可求出DN的长，当DQ=12时，过点N作NN₁⊥QD于N₁，由相似三角形的判定定理得出△QDF∽△QN₁N，故可得出NN₁的长，再由勾股定理即可得出DN的长．
点评：本题考查的是相似形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质进行解答．