Question

（2013年四川资阳8分）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

Answer 1

解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1。

∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r。
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，即r²=1²+（r）²，
解得r=。
（2）连接BC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°。
∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°。
根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角
∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°。

（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解。
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解。