Question

【题目】如图1，已知抛物线y1＝x2+mx与抛物线y2＝ax2+bx+c的形状相同，开口方向相反，且相交于点A（﹣3，﹣6）和点B（1，6）．抛物线y2与x轴正半轴交于点C，P为抛物线y2上A、B两点间一动点，过点P作PQ∥y轴，与y1交于点Q．

（1）求抛物线y1与抛物线y2的解析式；

（2）四边形APBO的面积为S，求S的最大值，并写出此时点P的坐标；

（3）如图2，y2的对称轴为直线l，PC与l交于点E，在（2）的条件下，直线l上是否存在一点T，使得以T、E、C为顶点的三角形与△APQ相似？如果存在，求出点T的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝﹣x2+x+6；（2）当t＝﹣1时，S最大＝16，此时P的坐标为（﹣1，4）；（3）存在点T的坐标或使得T、C、E为顶点的三角形与△PAQ相似．

【解析】

（1）分别利用待定系数法求两个二次函数的解析式；

（2）设点P横坐标为t，则P（t，﹣t2+t+6），Q（t，t2+5t），表示PQ的长，根据两三角形面积和可得S与t的关系式，配方后可得S的最大值；

（3）先确定∠AQB＝135°，所以分情况讨论可得结论．

解：（1）将B（1，6）代入y1＝x2+mx得：m＝5，

∴y1＝x2+5x，

∵y2与y1形状相同，开口相反，

∴a＝﹣1，

∴y2＝﹣x2+bx+c，

将A（﹣3，﹣6）、B（1，6）代入得，

，

解得：b＝1，c＝6，

∴y2＝﹣x2+x+6；

（2）设点P横坐标为t，

则P（t，﹣t2+t+6），Q（t，t2+5t），

∴PQ＝﹣t2+t+6﹣t2﹣5t＝﹣2t2﹣4t+6，

∴S四边形APBQ＝

＝﹣4（t+1）2+16；

∴当t＝﹣1时，S最大＝16，此时P的坐标为（﹣1，4）；

（3）存在点T，

由y2＝﹣x2+x+6，得直线l为：x＝，

由（2）知P点的坐标为（﹣1，4），

当x＝﹣1时，y1＝（﹣1）2+5×（﹣1）＝﹣4，

∴Q点的坐标为（﹣1，﹣4），

且A为（﹣3，﹣6），

令﹣x2+x+6＝0得：C为（3，0），

如图2，设PQ与x轴交于点G，直线l与x轴交于点M，

作AH⊥PQ的延长线，垂足为点H，易知AH＝2，HQ＝﹣4﹣（﹣6）＝2，

∴∠AQH＝45°，

∴∠AQP＝180°﹣45°＝135°，

∵PG＝4，CG＝3+1＝4，

∴∠ECO＝45°，

∴T点在E的上方∠CET＝135°

MC＝3﹣＝，EC＝MC＝．

AQ＝AH＝2，PQ＝8，

存在两种情况：

①若△PAQ∽△TCE，则，

即TE＝＝10，此时T的坐标为，

②若△PAQ∽△CTE，则，

即TE＝，此时T的坐标为,

综上可知存在点T的坐标或使得T、C、E为顶点的三角形与△PAQ相似．