Question

3．如图．AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°．作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD，求△ABE与△CDE的面积之比．

Answer 1

分析 连接AD，设AB=x，解直角三角形求出AC，DC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出即可．

解答 解：连接AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=DC，
设AB=x，
∵在Rt△ABC中，∠BCA=30°，AB=x，
∴AC=2AB=2x，AD=CD=AC×sin45°=2x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$x，
∵∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△CDE}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=（$\frac{x}{\sqrt{2}x}$）²=$\frac{1}{2}$，
△ABE与△CDE的面积之比为1：2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，能求出△ABE∽△CDE是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．