Question

在直角坐标平面内，反比例函数y=

m

x

的图象经过点A（1，4）、B（a，b），过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，点B的坐标是

（2，2）

；若以A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，点B的坐标是

（4，1）或（-4，-1）

；
（3）△ABD的面积为4，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知把点A（1，4）代入y=

m

x

，求出m，即得函数y=

m

x

的解析式．
（2）利用菱形的性质以及等腰梯形的性质分别得出B点坐标即可；
（3）分类讨论①当a＞1时，②当0＜a＜1时，③当a＜0时，分别得出即可．

解答：解：（1）∵函数y=

m

x

的图象经过点A（1，4），
∴m=4．
所以函数y=

m

x

的解析式是y=

4

x

．

（2）若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，如图1所示，点B的坐标是（2，2）；
若以A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，点B的坐标是（4，1）或（-4，-1）；
故答案为：（2，2），（4，1）或（-4，-1）；

（3）因为B（a，b），对a进行分类讨论：

①当a＞1时，如图1，设BD，AC交于点E，据题意，可得：
B点的坐标为(a，

4

a

)，D点的坐标为(0，

4

a

)，E点的坐标为(1，

4

a

)，
∴DB=a，AE=4-

4

a

． 由△ABD的面积为4，即

1

2

a(4-

4

a

)=4，得a=3，
∴点B的坐标为(3，

4

3

)．（
②当0＜a＜1时，如图2，由△ABD的面积为4，
即

1

2

a（

4

a

-4）=4，
得a=-1（舍）．
③当a＜0时，如图3，由△ABD的面积为4，
即

1

2

（-a）（4-

4

a

）=4，
得a=-1，∴点B的坐标为（-1，-4）．
所以使△ABD的面积为4点B的坐标为(3，

4

3

)、（-1，-4）．

点评：此题考查的知识点是反比例函数综合题，解题的关键是先求出函数解析式，利用分类讨论得出是解题关键．