Question

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DHG是等边三角形；设等边△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接OB，只要证明∠OBE=90°即可求解；
（2）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
（3）作出DG与GH，易证AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．

解答：（1）证明：连接OB，由题意得，
∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°∠CBE=60°
则∠OBE=90°
∴BE是⊙O的切线（3分）

（2）证明：连接MB，则∠CMB=120°（4分）
∵∠CBF=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCF=∠BCM
∴△CMB∽△CBF（5分）
∴

CM

CB

=

CB

CF

即CB²=CM•CF
∵AC=CB
∴AC²=CM•CF（6分）

（3）解：根据题意，作出DG与GH（7分）
由题意可得：AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG
∴

AB

BD

=

CE

EG

=

BD

DH

∵

S1

S2

=（

AB

BD

）²

S2

S3

=（

BD

DH

）²
∴

S1

S2

=

S2

S3

即S₂²=S₁•S₃
∴所求的数量关系是S₂²=S₁•S₃（9分）

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．