Question

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4

3

，PC=8

3

，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=

3

时，求tanB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切线．

（2）①连接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤4

3

）．
（x取值范围不写不扣分）
②当x=

3

时，y=147，
∴PD=7

3

，（8分）
∴EC=

3

，
∵CB=3

3

，
∴在Rt△ECB中，tanB=

CE

CB

=

3

3 3

=

1

3

．