Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．

已知A(2，0)，B(0，2)．

（1）求d（点O，直线AB）；

（2）⊙T的圆心为半径为1，若d(⊙T，直线AB)≤1，直接写出t的取值范围；

（3）记函数的图象为图形Q．若d(Q，直线AB)=1，直接写出k的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）t的值为2-2≤t≤2+2；（3）k的值为-3+或1-．

【解析】

（1）如图1中，作OH⊥AB于H．求出OH即可解决问题．
（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．分两种情形求出d（⊙T，直线AB）=1时，点T的坐标即可．
（3）当直线经过点D（2-，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y=-x+2-，求出直线y=kx经过点E，点F时，k的值即可．

（1）如图1中，作OH⊥AB于H．

∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，AB=2，
∵×OA×OB=×AB×OH，
∴OH=，
∴d（点O，直线AB）；
（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．

当d（⊙T，直线AB）=1时，DH=1，
∴TH=2，AT=2，
∴OT=2-2，
∴T（2-2，0），
根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）=1时，T（2+2，0），
∴满足条件的t的值为2-2≤t≤2+2．
（3）如图3中，

当直线经过点D（2-，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y=-x+2-，
当直线y=kx经过E（1，1-）时，k=1-，
当直线y=kx经过F（-1，3-），k=-3+，
综上所述，满足条件的k的值为-3+或1-．