分析 (1)直接得出当0≤t<2时,EF的值,当2≤t<4时,点E,F同步向点B运动;
(2)分三种情况:①当0<t<2时,由含30°的直角三角形的性质容易得出t的值;
②当2≤t<4时,设EF的中点为Q,若⊙Q与BC相切,切点为M,连接QM,则QM⊥BC.先求出QM,再求出QB、AQ、AE,即可得出t的值;
③当4≤t<8时,设EF的中点为R,若⊙R与AC相切,切点为N,连接RN,则RN⊥AC,RN=RB;先证明△ANR∽△ACB,得出比例式求出半径NR,得出AE,即可求出t的值,
(3)设⊙R与BC的交点为D,连接RD,若⊙R的半径为r,则r=2-$\frac{1}{2}$t,最后用面积公式即可.
解答 解:(1)当0≤t<2时,EF=t,
当2≤t<4时,E,F都向点B运动,∵它们的速度相同,∴EF=2×2×1=4,
故答案为:2t,4;
(2)①当0<t<2时,如图1所示:
设⊙P与AC相切,切点为H,连接PH,
则PH⊥AC,
∵∠A=30°,
∴PH=AP•sin∠A=1,
即t=1;
②当2≤t<4时,如图2所示:
设EF的中点为Q,
若⊙Q与BC相切,切点为M,连接QM,
则QM⊥BC.
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
由题意知,⊙Q的半径为2,即QM=2.
∴QB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,
∴AQ=6-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,
∴AE=AQ-2=4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$,
∴t=2+4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$=6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$;
③当4≤t<8时,如图3所示:
设EF的中点为R,若⊙R与AC相切,切点为N,
连接RN,则RN⊥AC,此时RN=RB;
∵∠A=∠A,∠ANR=∠C=90°,
∴△ANR∽△ACB,
∴$\frac{NR}{CB}=\frac{AR}{AB}$,
∴$\frac{NR}{3}=\frac{6-BR}{6}$,
解得:NR=2,
∴AE=2,
∴t=4;
综上所述:t的值为1或6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或4;
(3)如图4所示:设⊙R与BC的交点为D,连接RD,
当t=4时,点F到点B,
∴4秒以后,只有点E在运动,
在运动2秒到4秒之间时,EF=4,
∴运动4秒后,EF=t-4,
若⊙R的半径为r,
则r=BR=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$t-2,
∵∠B=60°,RD=RB,
∴△RBD为等边三角形,
∴此等边三角形的高h为$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\frac{1}{2}t-2$),CD=BC-BD=BC-BR=3-r=3-($\frac{1}{2}$t-2)=5-$\frac{1}{2}$t,
∴S△ACD=$\frac{1}{2}$CD×h=$\frac{1}{2}$(5-$\frac{1}{2}$t)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\frac{1}{2}$t-2)=-$\frac{\sqrt{3}}{16}$(t-10)(t-4)=-$\frac{\sqrt{3}}{16}$(t-7)2+$\frac{9\sqrt{3}}{16}$;
∴当t=7时,S△ACD最大=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$.
点评 此题是圆的综合题,主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及面积的计算等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(1)中,需要通过作辅助线、分类讨论才能得出结..
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月用水量 | 水价(元/吨) | |
第一级 | 20吨以下(含20吨) | 1.6 |
第二级 | 20吨~30吨(含30吨) | 2.4 |
第三级 | 30吨以上 | 4.8 |
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