Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠A=30°，点P在AB上，AP=2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以EF为直径作⊙O．设点E运动的时间为t秒．
（1）当0≤t＜2时，EF=2t；2≤t＜4时，EF=4；
（2）当⊙O与△ABC的边相切时，求t的值；
（3）当4≤t＜8时，设⊙O与线段BC的另一个交点为D，直接写出△COD的面积S与t的函数表达式及面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接得出当0≤t＜2时，EF的值，当2≤t＜4时，点E，F同步向点B运动；
（2）分三种情况：①当0＜t＜2时，由含30°的直角三角形的性质容易得出t的值；
②当2≤t＜4时，设EF的中点为Q，若⊙Q与BC相切，切点为M，连接QM，则QM⊥BC．先求出QM，再求出QB、AQ、AE，即可得出t的值；
③当4≤t＜8时，设EF的中点为R，若⊙R与AC相切，切点为N，连接RN，则RN⊥AC，RN=RB；先证明△ANR∽△ACB，得出比例式求出半径NR，得出AE，即可求出t的值，
（3）设⊙R与BC的交点为D，连接RD，若⊙R的半径为r，则r=2-$\frac{1}{2}$t，最后用面积公式即可．

解答 解：（1）当0≤t＜2时，EF=t，
当2≤t＜4时，E，F都向点B运动，∵它们的速度相同，∴EF=2×2×1=4，
故答案为：2t，4；
（2）①当0＜t＜2时，如图1所示：
设⊙P与AC相切，切点为H，连接PH，
则PH⊥AC，
∵∠A=30°，
∴PH=AP•sin∠A=1，
即t=1；
②当2≤t＜4时，如图2所示：
设EF的中点为Q，
若⊙Q与BC相切，切点为M，连接QM，
则QM⊥BC．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
由题意知，⊙Q的半径为2，即QM=2．
∴QB=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴AQ=6-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴AE=AQ-2=4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴t=2+4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$=6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
③当4≤t＜8时，如图3所示：
设EF的中点为R，若⊙R与AC相切，切点为N，
连接RN，则RN⊥AC，此时RN=RB；
∵∠A=∠A，∠ANR=∠C=90°，
∴△ANR∽△ACB，
∴$\frac{NR}{CB}=\frac{AR}{AB}$，
∴$\frac{NR}{3}=\frac{6-BR}{6}$，
解得：NR=2，
∴AE=2，
∴t=4；
综上所述：t的值为1或6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或4；
（3）如图4所示：设⊙R与BC的交点为D，连接RD，
当t=4时，点F到点B，
∴4秒以后，只有点E在运动，
在运动2秒到4秒之间时，EF=4，
∴运动4秒后，EF=t-4，
若⊙R的半径为r，
则r=BR=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$t-2，
∵∠B=60°，RD=RB，
∴△RBD为等边三角形，
∴此等边三角形的高h为$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}t-2$），CD=BC-BD=BC-BR=3-r=3-（$\frac{1}{2}$t-2）=5-$\frac{1}{2}$t，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD×h=$\frac{1}{2}$（5-$\frac{1}{2}$t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{16}$（t-10）（t-4）=-$\frac{\sqrt{3}}{16}$（t-7）²+$\frac{9\sqrt{3}}{16}$；
∴当t=7时，S_△ACD最大=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（1）中，需要通过作辅助线、分类讨论才能得出结．．