Question

【题目】如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE

（1）请判断：AF与BE的数量关系是 ， 位置关系是 .
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.

Answer 1

【答案】
（1）相等；互相垂直
（2）

解：结论仍然成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF；

（3）

解：第（1）问中的结论都能成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF．

【解析】（1）易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
（2）证明△ADE≌△DCF，然后证明△ABE≌△ADF即可证得BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明∠AMB=90°，从而求证；
（3）与（2）的解法完全相同．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和正方形的性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形即可以解答此题．