Question

14．已知关于x的方程mx²-（2m-1）x+m-2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若x₁、x₂为方程的两个不等实数根，且满足x₁²+x₂²-x₁x₂=2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根，可得△=b²-4ac＞0，继而求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可得x₁+x₂=$\frac{2m-1}{m}$，x₁x₂=$\frac{m-2}{m}$，又由x₁²+x₂²-x₁x₂=2，可得方程（$\frac{2m-1}{m}$）²-$\frac{3（m-2）}{m}$=2，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=[-（2m-1）]²-4m（m-2）=4m+1＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{4}$，
∵二次项系数≠0，
∴m≠0，
∴当m＞-$\frac{1}{4}$且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁、x₂为方程的两个不等实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{2m-1}{m}$，x₁x₂=$\frac{m-2}{m}$，
∴x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=（$\frac{2m-1}{m}$）²-$\frac{3（m-2）}{m}$=2，
解得：m₁=$\sqrt{2}$+1，m₂=-$\sqrt{2}$+1（舍去）；
∴m=$\sqrt{2}$+1．

点评 此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；注意若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，