Question

如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，
若OC=5，PD=4，则OP=

 

．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD，根据角平分线的定义可得∠AOP=∠BOP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OPC=∠AOP，然后求出∠BOP=∠OPC，根据等角对等边可得PC=OC，然后利用勾股定理列式求出CE，从而得到OE，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE=PD=4，
∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP，
∴∠BOP=∠OPC，
∴PC=OC=5，
在Rt△PCE中，CE=

PC2-PE2

=

52-42

=3，
∴OE=OC+CE=5+3=8，
在Rt△POE中，OP=

OE2+PE2

=

82+42

=4

5

．
故答案为：4

5

．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理的应用，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．