Question

2．在△ABC中，∠B=30°，AC=10cm，BC=16cm，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D、交BC于点E．
（1）求AD的长；
（2）点P从点B出发，以2m/s的速度沿着B-C-A-B运动，再次回到点B时停止运动，运动时间为t秒，当点P运动到⊙C内时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AD于H，如图，根据垂径定理得到AH=DH，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=$\frac{1}{2}$BC=8，接着在Rt△ACH中根据勾股定理计算出AH=6，于是AD=2AH=12（cm）；
（2）先计算出点P运动到E点、A点和D点的路径，再计算出对应的时间，然后根据点与圆的位置关系求出点P在⊙C内时所对应的t的取值范围．

解答 解：（1）作CH⊥AD于H，如图，则AH=DH，
在Rt△BCH中，∵∠B=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×16=8，
在Rt△ACH中，∵AC=10，CH=8，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=6，
∴AD=2AH=12（cm）；
（2）∵CE=CA=10cm，
∴BE=BC-CE=6cm，
∵BC+CA+AD=16+10+12=18（cm0，
∴点P运动到点D的时间为$\frac{38}{2}$=19（s），
∵点P沿E→C→A→D运动时，点P在圆内（不含点E、A、D），
∴点P在圆内时，t的取值范围为3＜t＜19且t≠13．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和点与圆的位置关系．