Question

如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠ACD即可；
（2）要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵∠EDC=∠CAB，
∴∠EDC=∠ACD，
∴AC∥DE；

（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由如下：
∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC=∠AFB=90°，DC=AB
在△CDE和△BAF中，

∠DEC=∠AFB ∠EDC=∠BAF CD=BA

，
∴△CDE≌△BAF（AAS），
∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等），
∵AC∥DE，
即DE=AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD=EF，
∵AD=BC，
∴EF=BC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

点评：本题所考查的知识点：三角形全等、平行四边形的判定，矩形的性质．