Question

13．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，…，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题．
（1）将下表填写完整；

操作次数N	1	2	3	4	5	…	n
正方形个数	4	7	10				an

（2）a_n=3n+1（用含n的代数式表示）；
（3）按照上述方法，能否得到2015个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．

Answer 1

分析 （1）（2）分别数出图1、图2、图3中正方形的个数，可以发现第几个图形中正方形的个数等于3与几的乘积加1；按照这个规律即可求得正方形的个数a_n和操作次数n之间的关系；
（3）然后将2015代入，如果得数为整数，正方形的个数能为2015个；如果得数不是整数，正方形的个数不能为2015个．

解答 解：（1）图1中正方形的个数为4=3×1+1；
图2中正方形的个数为7=3×2+1；
图3中正方形的个数为10=3×3+1；
…
可以发现：图几中正方形的个数等于3与几的乘积加1．
可得，图4、图5中正方形的个数分别为13、16．

操作次数N	1	2	3	4	5	…	n
正方形个数	4	7	10	13	16		an

（2）a_n=3n+1；                                               
（3）不能．                                               
假设能，则3n+1=2015，
解得：n=$\frac{2014}{3}$
n不为整数，不成立；所以不能得到2015个正方形．

点评 此题主要考图形变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律，解决问题．