Question

如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x²（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是

 

．

Answer 1

分析：此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

解答：解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，
所以直线OA：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 3 y= 1 3

；
故A（

3

3

，

1

3

）；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

，

x= 3 y=3

；
故P（

3

，3），那么A（3，

3

）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 y=3

，
故P（

3

，3），
∴OP=2

3

，QP=2，
∴OH=OP=2

3

，AH=QP=2，
故A（2

3

，2）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y=

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

、

x= 3 3 y= 1 3

，
∴P（

3

3

，

1

3

），
∴QP=

2

3

3

，OP=

2

3

，
∴OH=QP，QP=

2

3

3

，AH=OP=

2

3

，
故A（

2 3

3

，

2

3

）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：则符合条件的点A的坐标是 （

3

3

，

1

3

）或（3，

3

）或（2

3

，2）或（

2 3

3

，

2

3

）．

点评：此题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．