Question

如图，AB、CD为⊙O的四点，

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，AB=8，DC=4，图中阴影部分的面积和为

 

．

Answer 1

分析：此题若直接求阴影部分的面积，缺少必要的条件如：圆的半径、两个扇形圆心角的度数等，如果将两个图形进行适当变形，解题方法就会简便许多．令A、C重合，根据已知的弧的等量关系，可判定此时BD为⊙O的直径，那么阴影部分的面积即为半圆的面积和Rt△BDC的面积差，由此得解．

解答：解：如图，令A、C重合；
∵

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，
∴BD是⊙O的直径；
在Rt△ABD中，AB=8，AD=4，由勾股定理得：
BD²=AB²+AD²=80，
故S_阴影=S_半圆-S_△ABD=

1

2

×π×（

1

2

BD）²-

1

2

×8×4=10π-16．

点评：此题若直接求解，难度会很大，要擅于利用题目所给的条件，能够对图形进行合理的变形或整理是解决此题的关键．