Question

【题目】综合与实践

问题情境

如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=8，CD=6。

操作计算

（1）如图（1），分别沿BE,DF剪去RtΔABE和RtΔCDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF菱形，求AE的长；

图（1） 图（2） 图（3）

操作探究

把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到ΔABC和两张纸片

(2)将两张纸片如图（2）摆放，点C和重合，点B,C,D在同一条直线上，连接,记的中点为M，连接BM，MD，发现ΔBMD是等腰三角形，请证明：

（3）如图（3），将两张纸片叠合在一起，然后将纸片绕点B顺时针旋转a（00<a<900),连接和，探究并直接写出线段与的关系。

Answer 1

【答案】（1）AE的长为；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性质得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）连接MC，证出△ACA’是等腰直角三角形，得出∠CA’A=45°，由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出A’M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA’，证出∠BCM=∠DA’M，由SAS证明△BCM≌△DA’M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA’，由角的雇佣关系证出∠BMD=90°，即可得出结论；
（3）延长AC’、A’C交于点M，由旋转的性质得：BC’=BA，BA’=BC，∠A’BC=∠ABC，∠BA’C=∠BC’A，证出∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，由四边形内角和定理得出∠A’BC’+∠M=180°，证出∠M=90°，得出AC’⊥A’C，证明△ABC’∽△C’BA’，得出对应边成比例,即可求得AC’=A’C．

试题解析：

（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，
∴AB=CD=6，∠A=90°，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE=AD-AE=8-AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
即62+AE2=（8-AE）2，
解得：AE= ；
（2）证明：连接MC，如图2所示：

根据题意得：△ABC≌△CDA’，∠CDA’=90°，
∴AC=A’C，∠BCA=∠CA’D，∠CA’D+∠A’CD=90°，
∴∠BCA+∠A’CD=90°，
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACA’=90°，
∴△ACA’是等腰直角三角形，
∴∠CA’A=45°，
∵M是AA’的中点，
∴A’M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA’，
∵∠BCA=∠CA’D，
∴∠BCA+∠MCA=∠CA’D+∠CA’A，
∴∠BCM=∠DA’M，
在△BCM和△DA’M中，

∴△BCM≌△DA’M（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMA’，
∵∠CMD+∠DMA’=90°，
∴∠CMD+∠BMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形；
（3）解：AC’⊥A’C，AC’=A’C，理由如下：
延长AC’、A’C交于点M，如图3所示：

由旋转的性质得：BC’=BA，BA’=BC，∠A’BC=∠ABC，∠BA’C=∠BC’A，
∴∠BAC=∠BC’A，∠BCA’=∠BA’C，
∴∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，
∵∠BC’A+∠BC’M=180°，
∴∠BA’C+∠BC’M=180°，
∴∠A’BC’+∠M=180°，
∵∠A’BC’=∠ABC=90°，
∴∠M=90°，
∴AC’⊥A’C，
∵∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，
∴△ABC’∽△C’BA’，

∴,

∴AC’=A’C.