Question

【题目】如图直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD、CD交于G、H两点，若EF=2，S△ABE= ，则线段GH长度的最小值是____．

Answer 1

【答案】1．

【解析】

∵直线l经过正方形ABCD的顶点A，BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．

∴∠BAD=∠BDA=∠DFA=90°，AB=AD.

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠DAF+∠BAE=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF.

设AE=，则由EF=2，可得：AF==BE，

又∵S△ABE=，

∴，解得：，即AE=1，

∴BE=AF=EF-AE=2-1=1.

∴AB==AD=CD.

∵四边形ABCD是正方形，OG⊥OH，

∴∠AOD=∠GOH=90°，OA=OD，∠OAG=∠ODH=45°，

∴∠AOG+∠GOD=90°，∠GOD+∠DOH=90°，

∴∠AOG=∠DOH，

∴△AOG≌△DOH，

∴OG=OH.

∴GH=.

∴当OG最小时，GH最小.

∵当OG⊥AD时，OG最小，而此时由OA=OD，∠AOD=90°可得OG=AD=，

∴GH最小=.